Depois de estudarmos as Progressões Aritméticas, agora que já sabemos o que são e como são resolvidos os problemas que a envolvem, vamos agora estudar as Progressões Geométricas. Uma PG (Progressão Geométrica) é uma sequência de números, que são definidos pela constante q, chamada de razão. Veja um exemplo:

(1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, …), onde a razão é 2. Perceba que cada número é o resultado da multiplicação de seu antecessor pela razão, que no caso é 2.

A razão pode ser qualquer número racional (positivos, negativos, frações, exceto o zero). Dividindo qualquer número da sequência pelo seu anterior, descobriremos a razão da PG.

Fórmula do termo geral

É possível descobrir qualquer número da PG usando a seguinte fórmula:

a_n = a₁ . q^{(n – 1)}

Nesta fórmula, a é um termo, a₁ refere-se ao primeiro termo. O número do termo que queremos encontrar deve ser colocado no lugar do n. Veja um exemplo:

q = 2
a₁ = 5

para descobrir, por exemplo, o termo a₁₂, faremos:
a₁₂ = 5 . 2 ^{(12 – 1)}

a₁₂ = 5 . 2¹¹

a₁₂ = 5 . 2048 = 10240

Tipos de Progressões Geométricas

Existem quatro tipos de progressões geométricas, que variam de acordo com o valor da razão:

Progressão Geométrica Oscilante (q < 0)

Neste tipo de PG, a razão é negativa, o que faz com que a sequência numérica tenha números negativos e positivos, se intercalando. Exemplo:

(3,-6,12,-24,48,-96,192,-384,768,…), onde a razão é -2

Progressão Geométrica Crescente (q > 0)

Na PG crescente, onde a razão é sempre positiva, a sequência será formada por números crescentes. Exemplo:

(1, 3, 9, 27, 81, …), onde a razão é 3

Progressão Geométrica Constante (q = 1)

Para que a sequência numérica seja constante, ou seja, tenha sempre os mesmos números, a razão deve ser sempre 1. Veja:

(4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, …) onde a razão é 1

Progressão Geométrica Decrescente

As progressões geométricas decrescentes têm a razão sempre positiva e diferente de zero, e os números anteriores na sequência são sempre maiores do que o número posterior. Veja:

• (64, 32, 16, 8, 4, 2, 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64, 1/128, ..) razão = 1/2
• (-1, -3, -9, -27, -81, …) onde a razão é 3 (observe que na PG crescente temos um exemplo com a mesma razão, porém o número inicial aqui é negativo, alterando toda a sequência)