Conjuntos Numéricos

Já imaginou a sua vida sem os números? Nem dá pra pensar, não é mesmo?! Os  números são muito importantes em nossas vidas, não somente na matemática, mas em diversas áreas de estudos. E para iniciar os estudos da matemática, é necessário conhecer os conjuntos numéricos, base da matemática.

Os números são divididos em diversas categorias, sendo que cada uma possui características próprias dividem os números de acordo com suas propriedades. Os conjuntos numéricos podem ser divididos em naturais, inteiros, racionais e reais. Vamos falar um pouco sobre cada um desses conjuntos numéricos e suas características.

Conjunto dos números naturais (N)

Esse conjunto é formado por todos os números inteiros e positivos, incluindo o zero. É infinito e ilimitado. O conjunto dos números naturais sempre é representado pela letra N maiúscula. Para representar o conjunto dos números naturais não nulos, excluindo o zero, deve-se colocar um * na frente do N.

Exemplo:

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …}

N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, …}

Conjunto dos números inteiros (Z)

É a união dos números naturais (N) com os números inteiros negativos. Também é infinito e ilimitado. É representado pela letra Z maiúscula.

Exemplo:

Z = {…, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …}

O conjunto dos números inteiros (Z) tem algumas subdivisões:

Inteiros não negativos

Nesse subconjunto, os números negativos são excluídos, ficando apenas os números positivos e o zero. Logo, podemos observar que este conjunto é igual ao conjunto dos números naturais (N). É representado por Z+:

Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …}

Inteiros não positivos

São todos os números inteiros que não são positivos. É representado por Z:

Z = {…, -5, -4, -3, -2, -1, 0}

Inteiros não negativos e não-nulos

É o conjunto Z+ excluindo o zero. Representa-se esse subconjunto por Z*+:

Z*+ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …}

Observe que o conjunto Z*+ = N*.

Inteiros não positivos e não nulos

Nesse subconjunto estão todos os números do conjunto Z excluindo o zero. Representa-se por Z*.

Z* = {… -4, -3, -2, -1}

Conjunto dos números racionais (Q)

É composto por números que podem ser representados em forma de fração ou razão, sempre com numerador e denominador pertencentes a Z. Os denominadores e numerados são obrigatoriamente números inteiros e não nulos. É um conjunto infinito e ilimitado. É representado pela letra Q maiúscula.

Exemplo:

Q = {½, ¾}

Quando uma fração não é equivalente a uma fração decimal exata, sua representação decimal passa a ser o que chamamos de dízima periódica. Na dízima periódica chamamos a parte da fração que se repete de período infinitamente. As dízimas também estão presente nos conjuntos de números racionais.

Exemplo: 0,7878787878… , onde 78 é o período.

Conjunto dos números irracionais (I)

São aqueles que são decimais infinitos, mas não são periódicos. Um bom exemplo de número irracional é o número PI (resultado da divisão do perímetro de uma circunferência pelo seu diâmetro), que vale 3,14159265. Este conjunto é representado pela letra I maiúscula.

Exemplo:

Π (Pi) = 3,141592…

Repare que os números são infinitos, mas não são periódicos. Não há a repetição de números. Ou seja, não há período.

Conjunto dos números reais (R)

É a união dos números racionais e irracionais, ou seja, todos os números citados acima. Esse conjunto é representado pela letra R maiúscula. Os intervalos são um subconjunto do conjunto de números que são reais.

Existem os intervalos abertos. Por exemplo, ]9, 20[ =  {x ∈ R | 9< x <20}. Os símbolos “][” representam um intervalo que não inclui os números mostrados. Ou seja, este intervalo não inclui o 9 e o 20. Logo, o nosso número X está presente neste intervalo, é menor que 20 e maior que 9.

Já os intervalos abertos são representados pelos colchetes fechados, “[..]”. Assim, tudo que está dentro dos colchetes pertence ao intervalo. No caso [9, 20] =  {x ∈ R | 9 = ou< x = ou <20}. Assim, 20 será maior ou igual a X, e 9, menor ou igual a X.

Ademais, o intervalo pode ser aberto em um ponto e fechado em outro, ou até mesmo estar contido no infinito.

O diagrama abaixo mostra que cada conjunto é uma ampliação do anterior, sendo parte dele e acrescentando outros números:

conjuntos numericos

Conjuntos numéricos NZQR IR

 

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