Equações Polinomiais

As Equações Polinomiais também podem ser chamadas Equações Algébricas.

E o que são essas equações?

Qualquer equação da forma p(x) = 0, em que p(x) é um polinômio, pode ser chamada equação polinomial. Observe:
p(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 de grau n, com n ≥ 1.

Veja alguns exemplos de Equações Polinomiais:

x4 + 9x2 – 10x + 3 = 0
10x6 – 2x5 + 6x4 + 12x3 – x2 + x + 7 = 0
x8 – x6 – 6x + 2 = 0
x10 – 6x2 + 9 = 0

O conjunto solução da equação é constituído pelas raízes de uma equação polinomial. Para as equações em que o grau é 1 ou 2, o método de resolução é simples e prático. Nos casos em que o grau dos polinômios é 3 ou 4, existem expressões para a obtenção da solução.

Teorema Fundamental da Álgebra (TFA)

Qualquer equação polinomial p(x) = 0, que tenha grau n onde n ≥ 1, admite pelo menos uma raiz complexa. Veja os exemplos a seguir:

Exemplo 1 

Sabendo que 2 é a raiz da equação, determine o valor do coeficiente K na equação 2x+ kx3 – 5x2 + x – 15 = 0.

Primeiro devemos substituir o x por 2, que é a raiz da equação:

2(2)4 + k(2)3 – 5(2)2 + 2 – 15 = 0
2*16 + k*8 – 5*4 + 2 – 15 = 0
32 + 8k – 20 + 2 – 15 = 0
8k + 34 – 35 = 0
8k – 1 = 0
8k = 1
k = 1/8

Agora sabemos que o valor do coeficiente k é 1/8.

Exemplo 2 

Sabendo que –3 é raiz da equação: mx3 + (m + 2)x2 – 3x – m – 8 = 0, determine o valor de m.

Como no primeiro exemplo, substituímos o x por -3, que é a raiz da equação:

m(–3)3 + (m + 2)( –3)2 – 3(–3) – m – 8 = 0
m(–27) + (m + 2)(9) + 9 – m – 8 = 0
–27m + 9m + 18 + 9 – m – 8 = 0
–27m + 9m – m = 8 – 18 – 9
– 19m = –19
m = 1

Neste caso, o valor de m é 1.

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