Álgebra

A grande maioria dos problemas numéricos simples pode ser resolvida de várias maneiras diferentes. Tais maneiras sempre podem, contudo, ser classificadas em dois grupos: o dos métodos aritméticos e o dos métodos algébricos.

Seja, por exemplo, o seguinte problema:

“Em um cercado há 15 animais, entre coelhos e galinhas. O número total de patas desses animais é 40. Quantos coelhos e quantas galinhas há no cercado?”

– Para determinar a resposta aritmeticamente, imagina-se inicialmente que todos os animais são coelhos. Neste caso, o número total de patas seria 60; há, porém, apenas 40 patas, de modo que 20 estariam sobrando. Substituindo um coelho por uma galinha, perdem-se duas patas; como é necessário perder 20 patas, é preciso substituir 10 coelhos por galinhas. Chega-se assim a 5 coelhos (e, portanto, 10 galinhas).

– Na maneira algébrica de lidar com o problema, age-se como se ele já tivesse sido resolvido e se opera com as quantidades de coelhos e galinhas como se fossem conhecidas. O aspecto importante, entretanto, é que, como na verdade essas quantidades ainda não foram determinadas, elas são representadas não por números mas por letras (ou quaisquer outros símbolos). Então, chamando de x o número de coelhos e de y o número de galinhas, e sabendo que há 15 animais no total, obtém-se x + y = 15. Por outro lado, cada coelho tem 4 patas, e assim o número de patas de coelho é 4x (4 vezes x); da mesma forma, o número de patas de galinhas é 2y. Como há 40 patas ao todo, deve-se ter: 4x + 2y = 40. Obtiveram-se assim duas equações com duas incógnitas (os números procurados, x e y). Pode-se operar com essas equações como se elas fossem números: multiplicando a primeira por 2 e subtraindo-a da segunda, obtém-se 2x = 10, ou x = 5. Ou 5 coelhos (e 10 galinhas).

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Saiba o que é a álgebra

As Equações

A tradução dos termos de um problema desse tipo em linguagem algébrica (em que se utilizam símbolos, equações, etc.) é normalmente a parte mais difícil de sua resolução. Uma vez que os dados foram equacionados, a resolução segue quase automaticamente, pois se enquadra em algum método geral. O sucesso em resolver problemas algébricos está em equacioná-los e em conhecer os métodos gerais.

Um exemplo de método geral é a fórmula de resolução da equação do segundo grau. Antes de sua invenção, os matemáticos dividiam tais equações em categorias diferentes, conforme seus termos eram positivos ou negativos. Assim, considerava-se que a equação: x² + 2x + 1 = 0 era fundamentalmente diversa da equação x² – 2x + 1 = 0, simplesmente porque elas diferem por um sinal. Por isso, aplicavam a eles métodos de resolução distintos. A constatação de que, na verdade, essas duas equações podem ser estudadas como casos particulares de uma forma mais geral (a equação ax² + bx + c = 0, em que as letras a, b e c simbolizam qualquer número) significou um grande progresso no sentido da maior compreensão do que é importante nos raciocínios matemáticos. E esse aspecto da questão é o objetivo da álgebra moderna.

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